tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

2012全国各地中考数学解析汇编--第29章 锐角三角函数及解直角三角形A(已排版)

(最新最全)2012 年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理) 第二十九章锐角三角函数及解直角三角形
29.1 锐角三角函数以及特殊角 (2011 江苏省无锡市,2,3′)sin45°的值是( A.
1 2

) D.1

B.
2 2

2 2

C.

3 2

【解析】sin45°=

【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆,这是对基础知识的考查,属于 容易题。 (2012 四川内江,11,3 分)如图 4 所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sinA 的 值为 A.
1 2

B.

5 5

C.

10 10

D.

2 5 5

【解析】欲求 sinA,需先寻找∠A 所在的直角三角形,而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直 角三角形,所以需要作高.观察格点图形发现连接 CD(如下图所示) ,恰好可证得 CD⊥AB, 于是有 sinA=
CD AC



2 10



5 5



A D B C

图4 【答案】B 【点评】 在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形, 将这类问题以格点图 形为背景展现时,要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造.解决这类问题,一要注意 构造出直角三角形,二要熟练掌握三角函数的定义. 29.2 三角函数的有关计算 (2012 福州,9,4 分, )如图,从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30°、45°, 如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米, A、 B 在同一直线上, AB 两点的距离是 点 D、 则 ( ) A.200 米 B. 2 0 0 3 米 C. 2 2 0 3 米 D. 1 0 0 ( 3 ? 1) 米

解析:由题意,∠A=30°,∠B=45°,则 tan A ? AB=AD+DB= 答案:D
CD tan A ? CD tan B ? 100 tan 3 0
0

CD AD

, tan B ?

CD DB

,又 CD=100,因此

?

100 tan 4 5
0

? 100 3 ? 100 。

点评:本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值,考察了用三角函数模型解决实 际问题的能力,难度中等。 2 0 ( 2012 年浙江省宁波市,8,3)如图,Rt△ABC,∠C=90 ,AB=6,cosB= ,则 BC 的长为 A 3

C 8 题图

B

12 13 13 BC 2 【解析】由三角函数余弦的定义 cosB= = ,又∵AB=6∴BC=4,故选 A AB 3 【答案】A 【点评】本题考查三角函数的定义,比较容易. (A)4 (B)2 5 (C) 13 (D) (2012 福州,15,4 分)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,则 AD 的长是 ,cosA 的值是 .(结果保留根号)

18

13

解析:由已知条件,可知△BDC、△ADB 是等腰三角形,且 DA=DB=BC,可证△BDC∽△ABC, 则有
x1 ?
BC AC ? DC BC

,设 BC=x,则 DC=1-x,因此
? 5 ?1 2

x 1

?

1? x x

, 即 x ? x ? 1 ? 0 ,解方程得,
2

5 ?1 2

, x2 ?

(不合题意,舍去),即 AD=
5 ?1 4

5 ?1 2



AB

又 cosA= 2 ?
AD
5 ?1 2

1 2? 5 ?1 2

?

1 5 ?1

?

答案:

,

5 ?1 4

点评:本题考查了等腰三角形的判定、性质,三角形相似的判定和性质,一元二次方程的解 法,二次根式的化简,构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等,涉及知识点较为广泛, 具有较强的综合性,难度较大。 (2012 连云港, 3 分) 3, 小明在学习 “锐角三角函数” 中发现, 将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 E 处,还原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 上的点 F 处,这样就可以求出 67.5°的角的正切值是

D

C F

E

A

B

A. 3 +1 B. 2 +1 C. 2.5 D. 5 【解析】注意折叠后两点对称,也就是说△ABE 和△AEF 都是等腰三角形。得到 67.5°的角 为∠FAB。 【答案】设 AB=x,则 BE=x,在直角三角形 ABE 中,用勾股定理求出 AE=EF= 2 x,于是 BF= ( 2 +1)x.在直角三角形 ABF 中,tan∠FAB=
BF AB ? ( 2 ? 1) x x

= 2 +1=tan67.5°.选 B。

【点评】根据折叠得到 A、E 关于折痕对称,从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出 两线段的长。 (2012 山东德州中考,7,3)为了测量被池塘隔开的 A,B 两点之间的距离,根据实际情况, 作出如下图形,其中 A B ? B E , E F ? B E ,AF 交 BE 于 D,C 在 BD 上.有四位同学分别 测量出以下四组数据: BC, ACB; ②CD, ACB, ADB; EF, , ; DE, , . ① ∠ ∠ ∠ ③ DE BD ④ DC BC 能 根据所测数据,求出 A,B 间距离的有( ) (A)1 组 (B)2 组 (C)3 组 (D)4 组 A

E D F F 【解析】对于①,可由公式 AB=BC×tan∠ACB 求出 A、B 两点间的距离;对于②,可设 AB 的长为 x,则 BC=
x tan ∠ A C B tan ∠ A D B DE BD ? DEF∽△DBA,则 ,可求出 AB 的长;对于④无法求得,故有①、②、③三个,故 EF AB

C

B

,BD=

x

,BD-BC=CD,可解出 AB.对于③,易知△

选 C. 【答案】C. 【点评】 此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定. 在直角三角形中至少要有已知 一边和一角才能求出其他未知元素;判定两三角形相似的方法有:AA,SAS,SSS,两直角三 角形相似的判定还有 HL. (2012 贵州铜仁,22,10 分)如图,定义:在直角三角形 ABC 中,锐角 ? 的邻边与对边的 角 ? 的邻边 AC 比叫做角 ? 的余切,记作 ctan ? , 即 ctan ? = ,根据上述角的余切定 ? 角 ? 的对边 BC 义,

解下列问题: ? (1)ctan30 =


3 4

(2)如图,已知 tanA=

,其中∠A 为锐角,试求 ctanA

22 题图

的值. 【分析】 (1)可先设最小边长为一个特殊数(这样做是为了计算方便) ,然后在计算出其它 ?。 边长,根据余切定义进而求出 ctan30 (2)由 tanA=
3

为了计算方便,可以设 BC=3

AC=4 根据余切定义就可以求出 ctanA

4 ,

的值. 【解析】 (1)设 BC=1, ? ∵α =30 ∴AB=2 ∴由勾股定理得:AC= 3 ctan30 =
?

AC BC

= 3
3 4

(2) ∵tanA= ∴设 BC=3 ∴ctanA=
AC BC

AC=4 =
4 3

【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义和直角三角形的性质, 锐角三角函数往往和直角三 角形联系在一起考查。命题时常常和现实中的一些实际问题结合在一起。需要注意的是,在 运用三角函数概念及其关系式时,计算易错,名称易混淆;特殊角的三角函数值易混淆,也 容易把一个角与其余角的三角函数值混淆。 (2012 浙江丽水 4 分,16 题)如图,在直角梯形 ABCD 中, ∠A=90°,∠B=120°,AD= 3 ,AB=6.在底边 AB 上取点 E, 在射线 DC 上取点 F,使得∠DEF=120°. (1) 当点 E 是 AB 的中点时, 线段 DF 的长度是________; (2)若射线 EF 经过点 C,则 AE 的长是________. 【解析】 :AE= DE=
AD cos ? ADE
1 2

AB=3.在 Rt△ADE 中,tan∠ADE=
? 3 1 2

AE AD

?

3 3

= 3 .所以∠ADE=60°,所以

? 2 3 ,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以 ED=EF.过点 E 作 EG⊥DC 于

G,则 DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2 3 ×

3 2

=6; (2)过 C 作 CH⊥直线 AB 于 E,那么

CH=AD= 3 ,由勾股定理 D 得 BH=1。所以 CD=7。易知△BCE~△EDC,所以 BE:CE=CE:CD, 2 2 2 2 2 所以 CE =CD×DC,设 BE=x,则 CE =7x。在 Rt△CEH 中,由勾股定理得 CE =EH +CH ,得(x+1) 2 +3=7x,解之,得 x=1 或 4。当 x=1 时,AE=5;当 x=4 时,AE=2。故 AE 的长为 5 或 2。 【答案】(1)6; : (2)2 或 5 【点评】 :本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识,应注意知识点的 融会贯通.本题具有一定的难度. (2012 江苏泰州市,18,3 分)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点 A、B、C、D

都在这些小正方形的顶点上,AB、CD 相交于点 P,则 tan∠APD 的值是



【解析】 要求 tan∠APD 的值,只要将∠APD 放在直角三角形中,故过 B 作 CD 的垂线,然 后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可. 【答案】作 BM⊥CD,DN⊥AB 垂足分别为 M、N,则 BM=DM=
2 2
10

,易得:DN=

10 10

,设 PM=x,

则 PD=

2 2

-x,由△DNP∽△BMP,得:

PN PM

?

DN BM

,即

PN x

5 x,由 ? 1 0 ,∴PN= 5 2
2

DN +PN =PD , 得 :
2

2

2

2

1 10

+

1 5

x =(

2

2 2

-x) , 解 得 : x1=

2

2 4

, x2=

2 ( 舍 去 ) ∴ tan ∠ ,

APD=

BM PM

?

2 =2. 2 4

【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础,还要注意网格 中线段的长度都可以在直角三角形中去解决. (2012 福州,9,4 分)如图,从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30°、45°, 如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米, A、 B 在同一直线上, AB 两点的距离是 点 D、 则 ( ) A.200 米 B. 2 0 0 3 米 C. 2 2 0 3 米 D. 1 0 0 ( 3 ? 1) 米

解析:由题意,∠A=30°,∠B=45°,则 tan A ? AB=AD+DB=
CD tan A ? CD tan B ? 100 tan 3 0
0

CD AD

, tan B ?

CD DB

,又 CD=100,因此

?

100 tan 4 5
0

? 100 3 ? 100 。

答案:D 点评:本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值,考察了用三角函数模型解决实 际问题的能力,难度中等。 (2012 福州,15,4 分)如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,则 AD 的长是 ,cosA 的值是 .(结果保留根号)

解析:由已知条件,可知△BDC、△ADB 是等腰三角形,且 DA=DB=BC,可证△BDC∽△ABC, 则有
x1 ?
BC AC ? DC BC

,设 BC=x,则 DC=1-x,因此
? 5 ?1 2

x 1

?

1? x x

, 即 x ? x ? 1 ? 0 ,解方程得,
2

5 ?1 2

, x2 ?

(不合题意,舍去),即 AD=
5 ?1 4

5 ?1 2



AB

又 cosA= 2 ?
AD
5 ?1 2

1 2? 5 ?1 2

?

1 5 ?1

?

答案:

,

5 ?1 4

点评:本题考查了等腰三角形的判定、性质,三角形相似的判定和性质,一元二次方程的解 法,二次根式的化简,构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等,涉及知识点较为广泛, 具有较强的综合性,难度较大。 (2011 山东省潍坊市,题号 9,分值 3)轮船从 B 处以每小时海里的速度沿男偏东 30°方 向匀速航行,在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75°方向上,轮船航行半小时到达 C 处,在观 测灯塔 A 北偏东 60°方向上,则 C 处与灯塔 A 的距离是( )海里 A.
25 3

B. 25

2 C.

50

D.25

考点:方位角和等腰三角形的判定 解答:根据路程=速度时间得 BC=50×0.5=25 海里; 根据方位角知识得,∠BCD=30°,=75°-30°; CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°; ∠A=∠CBD=45°所以 CA=CB 所以 CB=25 海里,本题正确答案是 D 点评:本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时,利用平行 线的有关知识得到角度的关系,从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。 (2012 湖北襄阳,10,3 分)在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半 圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度 CD.如图 5,已知李明距假山 的水平距离 BD 为 12m,他的眼睛距地面的高度为 1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线 OA 和假山的最高点 C,此时,铅垂线 OE 经过量角器的 60°刻度线,则假山的高度为 A.(4 C.(4
3
2

+1.6)m +1.6)m

B.(12 D.4
3

3

+1.6)m

m

C

A O E D 图5 【解析】如下图,过点 A 作 AF⊥CD 于 F,则 AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由 OE∥CF 可 知∠C=∠AOE=60°.所以,在 Rt△ACF 中,CF= +1.6)m. C
AF ta n 6 0 ?

B

=4

3

,那么 CD=CF+FD=(4

3

AO E F B D 【答案】A 【点评】 通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键, 其间需要具有良好的阅读理 解能力,能将对应线段和角之间的关系理清. (2012 浙江丽水 4 分,16 题)如图,在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=120°,AD= 3 , AB=6.在底边 AB 上取点 E,在射线 DC 上取点 F,使得∠DEF=120°. (1)当点 E 是 AB 的中点时,线段 DF 的长度是________; (2)若射线 EF 经过点 C,则 AE 的长是________. 【解析】 :AE= DE=
AD cos ? ADE
1 2

AB=3.在 Rt△ADE 中,tan∠ADE=
? 3 1 2

AE AD

?

3 3

= 3 .所以∠ADE=60°,所以

? 2 3 ,∠AED=∠EDF=∠BEF=30°,所以 ED=EF.过点 E 作 EG⊥DC 于

G,则 DF=2DG=2×DE·cos30°=2×2 3 ×

3 2

=6; (2)

【答案】(1)6; : (2)2 或 5 【点评】 :本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识,应注意知识点的 融会贯通.本题具有一定的难度. (2012 安徽,19,10 分)如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,求 AB 的长,

C

30° A

45° B

第 19 题图

解析:本题在一个三角形中已知两个角和一边,求三角形的边.不是直角三角形,要利用三 角函数必须构筑直角三角形,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,利用构造的两个直角三角形来解答.

解:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ACD 中,∠A=30°,AC= 2 3 ∴CD=AC×sinA= 2 3 ×0.5= 3 , AD=AC×cosA= 2 3 ×
3 2

=3,

在 Rt△BCD 中,∠B=45°,则 BD=CD= 3 , ∴AB=AD+BD=3+ 3 点评:解直角三角形中,除了直角外,还知道两个元素(至少有一个是边),就能求出其余 的边和角. 一般三角形中,知道三个元素(至少有一个是边),就能求出其余的边和角. 这 时将三角形转化为直角三角形时,注意尽量不要破坏所给条件. (2012 湖南娄底,20,7 分)如图 9,小红同学用仪器测量一棵大树 AB 的高度,在 C 处测 得∠ADG?30?,在 E 处测得∠AFG?60?,CE?8 米,仪器高度 CD?1.5 米,求这棵树 AB 的高度 (结果保留两位有效数字, 3 ≈1.732).
A

D C

30?

F E

60? B

G

【解析】在 Rt△ADG 中,可设 AG=x,利用已知角的三角函数可用 x 表示出 DG 的长,在 Rt △AFG 中,根据∠AFG 的正切函数可用 x 表示出 FG 的长,因为 DG-FG=DF,所以可列方程求 出 x 的长,AG 再加上仪器的高度即为大树的高. 【答案】解:设 AG=xm,在 Rt△ADG 中,∠ADG=30°,∴DG= 3 AG= 3 xm; 在 Rt△AED 中,∠AFG=60°,AG=x,FG=
3 3

x,∵DG-FG=DF,DF=CE=8 ∴ 3 x-

3 3

x=8,解得

x=4 3 ≈6.93, ∴AB=AG+BG=6.93+1.5≈8.4. 答:大树 AB 的高约为 8.4 米. 【点评】本题考查直角三角形的解法,首先构造直角三角形,再借助角边关系、三角函数的 定义解题. (2012 重庆,20,6 分)已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,点 D 在 BC 边上,且△ ABD 是等边三角形。若 AB=2,求△ABC 的周长。(结果保留根号)

解析: 由△ABC 是直角三角形和△ABD 是等边三角形, 可求出∠C=30°,利用三角函数可求出 答案。 答案:解:∵△ABD 是等边三角形∴∠B=60°∵∠BAC=90°∴∠C=30°∵sinC=
AB BC

∴BC=

AB sin C

=4, ∵cosC=

AC BC

∴AC=BC·cosC=2 3

∴△ABC 的周长是 6+2 3

点评:在直角三角形中计算线段长度问题,通常利用勾股定理和三角函数来解决,本题也可 由勾股定理来计算 AC 的长。 (2012 浙江省温州市,21,9 分)某海滨浴场东西走向的 海岸线可近似看作直线 l (如图) 。救生员甲在 A 处的瞭望 台上观察海面情况, 发现其正北方向的 B 处有人发出求救信 号。他立即沿 AB 方向径直前往救援,同时通知正在海岸线 上巡逻的救生员乙。乙马上人 C 处入海,径直向 B 处游去。 甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处,再向 B 处游去。 若 CD=40 米,B 在 C 的北偏东 35 方向,甲、乙的游泳速度 都是 2 米/秒。问谁先到达 B 处?请说明理由。 (参考数据:
sin 55 ? 0.82, cos 55 ? 0.57, tan 55 ? 1.43 )
? ? ?
?

【解析】根据特殊角的三角函数值,利用直角三角形的边角关系,利用直角三角形的边 CD 建 立等式. 【答案】解:由题意得∠BCD=55°,∠BDC=90°, ∴ tan ? B C D ?
BD CD


?

∴ B D ? C D ? tan ? B C D = 40 ? tan 55 ? 57.2 (米) ∴ BC ? ∴ t甲
? 7 0 .2 (米) ? co s ? B C D co s5 5 7 0 .2 5 7 .2 ? 3 5 .1( 秒 ) ? ? 1 0 ? 3 8 .6 ( 秒 ), t 乙 ? 2 2 = CD 40

∴ t 甲 ? t 乙 .答:乙先到达 B 处. 【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题.重点考查学生是否认真审题,挖掘出题 目中的隐含条件,运用数学知识解决实际问题的能力,难度一般. (2011 山东省潍坊市,题号 20,分值 10)校车安全是近几 年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超载和超速.某中 学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的 实验:先在公路旁边选取一点 C,再在笔直的车道 l 上确定 点 D,使 CD 与 l 垂直,测得 CD 的长等于 21 米,在 l 上点 D 的同侧取点 A、B,使∠CAD=30°,∠CBD =60° (1)求 AB 的长(精确到 0.1 米,参考数据: 3 ? 1 . 73 , 2 ? 1 . 41 ) ; (2)已知本路段对校车限速为 40 千米/小时,若测得某辆校车从 A 到 B 用时 2 秒,这辆校车 是否超速?说明理由.

考点:直角三角形的边角关系 解答: (1)由题意得 ,在 RT△ADC 中, AD=
CD tan 30 ? ? 21 3 3 ? 21 3 ? 36 . 33 ,

在 RT△BDC 中, BD ?

CD tan 60 ?

?

21 3

? 7 3 ? 12 . 11

所以 AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米) (2)汽车从 A 到 B 用时 2 秒,所以速度为 24.2÷2=12.1(米/秒) 因为 12.1×3600=43560, 所以该车速度为 43.56 千米/小时 大于 40 千米/小时,所以此校车在 AB 段超速. 点评:本题考察了直角三角形的边角关系,已知一边和一锐角解直角三角形。在解决此类问 题时,要找到所解的直角三角形,分析其中已知的边和角,分析类型,选择方法求解。 (湖南株洲市 3,13)数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗 杆的高度。小民所在的学习小组在距离旗杆底部 10 米的地方,用测角 仪测得旗杆顶端的仰角为 60°,则旗杆的高度是 米。

【解析】设旗杆的高度为 x 米,由题意,得 tan 6 0 ? ? x= 1 0 3

x 10

,解之得:

【答案】 1 0 3 【点评】在直角三角形,已知一角与一个角可以利用直角三角形的边角关系来求线段的长. (2012 四川攀枝花,19,6 分)如图 6,我渔政 310 船在南海 海面上沿正东方向匀速航行,在 A 地观测到我渔船 C 在东北方 向上的我国某传统渔场.若渔政 310 船航向不变,航行半小时 后到达 B 处,此时观测到我渔船 C 在北偏东 30°方向上.问渔 政 310 船再航行多久,离我渔船 C 的距离最近?(假设我渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值. ) 【解析】解直角三角形的应用-方向角问题. 【答案】 CD⊥AB 于 D, BD=x, 作 设 ∵∠BCD=30°, CD= 3 x, ∴ 因为∠CAD=45°, AD=CD= 3 x, = 3 x–x, ∴ AB 依据题意, 3 x

–x=0.5,x=

3 ?1 4

,答:再航行

3 ?1 4

小时,离渔船 C 的距离最近。

【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关键是用小时来表示 AB 间的距离。 (2012 江西,22,9 分)小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图 1.如图 2 是晒衣架的侧面 示意图, 立杆 AB、 相交于点 O, B、 两点立于地面, CD D 经测量: AB=CD=136cm, =OC=51cm, OA OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链 EF 成一条线段,且 EF=32cm. (1)求证:AC∥BD; (2)求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角 ? O E F 的度数(精确到 0.1°) ; (3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面? 请通过计算说明理由. ? ? 3 (参考数据: s in 6 1 .9? ? 0 .8 8 2 , c o s 6 1 .9 ? 0 .4 7 1, ta n 2 8 .1 ? 0 .5 3,可使用科学计 算器)
C A

O E F

B

D



1

图2

解析: (1)利用等腰三角形的性质或三角形相似,可得 AC∥BD; (2)过点 O 作 OG⊥EF 交 EF 于 G,构造直角三角形,利用三角函数可求得∠OEF 的度数; (3)利用三角形相似或三角函数可求解。 答案:解: (1)证法一: ∵AB、CD 相交于点 O,∴∠AOC=∠BOD, ∵OA=OC,∴∠ OAC=∠OCA= 同理可证:∠ OBD=∠ODB= ∴∠ OAC=∠OBD, ∴AC∥BD.
1 2
C A

1 2

(180°-∠AOC) ,

(180°-∠BOD) ,

O E M F

证法二: ∵AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm, ∴OB=OD=85 cm,
OA OB ? OC OD ? 3 5



又∵∠AOC=∠BOD, ∴ △AOC∽△BOD,∴∠ OAC=∠OBD, ∴AC∥BD. (2)在△OEF 中,OE=OF=34cm ,EF =32cm; 作 OM⊥EF 于点 M,则 EM=16cm; ∴ co s ? O E F ?
EM OE ? 16 34 ? 0 .4 7 1 ,

用科学计算器求得∠OEF=61.9°; (3)解法一:小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面. 在 Rt△OEM 中,∴ O M ? O E ? E M ? 34 ? 16 ? 30 cm; 同(1)可证: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF, 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,则 Rt△OEM∽Rt△ABH,
2 2 2 2



OE AB

?

OM AH

, AH ?

OM ? AB OE

?

30 ? 136 34

? 1 2 0 cm .

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度 122cm>晒衣架高度 AH=120cm. 解法二:小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面. 同(1)可证: EF∥BD ,∴∠ABD=∠OEF=61.9°, 过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,在 Rt△ABH 中, ∵ sin ? A B D ?
AH



AB ∴ A H ? A B ? sin ? A B D ? 136 ? sin 61.9 ? ? 136 ? 0.882 ? 120.0 cm;

∴小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度 122cm>晒衣架高度 AH=120cm. 点评:这是一道几何应用题,体现了新课标理念:数学来源于生活,并服务于生活。背景情 境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点有:平行线的判定、等腰三角形的性质或三角 形相似、锐角三角函数等。题目设置由易到难,体现了对数学建模思想的考察,以及由理论 到实践的原则, 比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力。 题 目平实、新颖、综合性强。 (2012 湖北黄石,22,8 分)如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图) , 在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架 AB 和 CD(均与水平面垂直) ,再将集热 板安装在 AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平线夹角为错误!未找到引用 源。1,且在水平线上的的射影 AF 为 1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为错误!未 找到引用源。2,并已知 tan 错误!未找到引用源。1=1.082,tan 错误!未找到引用源。2 =0.412.如果安装工人已确定支架 AB 高为 25cm,求支架 CD 的高(结果精确到 1cm)?

【解析】 如图所示, A 作 AE∥BC 交 CD 于点 E, 过 则所求 CD 转化为 CE+DE, CE=AB=25cm, 而 只要求出 DE,而 DE=DF-EF,分别在 Rt△DAF 与 Rt△EAF 中表示出 DF 与 EF. 【答案】如图所示,过 A 作 AE∥BC 交 CD 于点 E,则∠EAF=∠CBG=θ 2,

且 EC=AB=25cm ?????????2 分 Rt△DAF 中:∠DAF=θ 1,DF=AFtanθ 1 ???1 分 E Rt△EAF 中:∠EAF=θ 2,EF=AFtanθ 2 ∴DE=DF-EF=AF(tanθ 1-tanθ 2) C θ A GF 又∵AF=140cm, tanθ 1=1.082, tanθ 2=0.412 θ2 B ∴DE=140×(1.082-0.412)=93.8 ∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm 答:支架 DC 的高应为 119cm. 【点评】本题着重考查了解直角三角形的应用,难点在于作出辅助线,将问题转化到直角三 角形中及线段和差.
D
1

(2012 年四川省德阳市,第 6 题、3 分)某时刻海上点 P 处有一客轮,测得灯塔 A 位于客 轮 P 的北偏东 30°方向,且相距 20 海里.客轮以 60 海里/小时的速度沿北偏西 60°方向航 行
2 3

小时到达 B 处,那么 tan∠ABP= A.
1 2

B.2

C.

5 5

D.

2 5 5

【解析】如图 6 所示,根据题意可知∠APB=90°.且 AP=20, PB=60× ABP=
PA PB ? 20 40 ? 1 2

2 3

=40. 所以 tan∠

,故选 D.

【答案】D 【点评】本题主要考查了方向角含义,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键 (2012 连云港,24,10 分)已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2°方向,且其到 A 观测点 正北方向的距离 BD 的长为 16km。 一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的 BC 方向 航行,15min 后到达 C 处。现测得 C 处位于A观测点北偏东 79.8°方向。求此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长(精确到 0.1km). (参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18, tan26.6°≈0.50, 2 ≈1.41, 5 ≈2.24)


D

B



C A观测点

【解析】过点 B 作 AC 的垂线,把所求线段 AC 换为两线段的差。利用 Rt△ABH 和 Rt△BCH 求线段 AH、CH 的长,利用 AH-CH 确定 AC 的长。 【答案】BC=40×
15 60

=10.

在 Rt△ADB 中,sin∠DAB= 所以 AB=
D

DB AB

, sin53.2°≈0.8。

DB sin ? D A B



1 .6 0 .8

=20.
B

C A观测点

H

如图,过点 B 作 BH⊥AC,交 AC 的延长线于 H。 在 Rt△AHB 中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°―37°=26.6°, tan∠BAH=
BH AH
2

,0.5=

BH AH
2

,AH =2BH.

2 2 2 2 2 2 BH +CH =AB ,BH +(2BH) =20 ,BH=4 5 ,,所以 AH=8 5 ,

在 Rt△AHB 中,BH +CH =BC ,CH= 1 0 ? 8 0 ? 2 5
2

2

所以 AC=AH―CH=8 5 ―2 5 =6 5 ≈13.4k. 【点评】 本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中, 找到直角三角形利用三角函数求 出线段的长。 (2012 山东省聊城,22,8 分)周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛 P 处观看小 亮与爸爸在湖中划船(如图) ,小船从 P 处出发,沿北偏东 60°方向划行 200 米到 A 处,接 着向正南方向划行一段时间到 B 处.在 B 处小亮观测妈妈所在的 P 处在北偏西 37°的方向上, 这时小亮与妈妈相距多少米(精确到 1 米)?

解析:题目相当求线段 PB 长,需要把图形转化 为解直角三角形来解决,过点 P 作 PC⊥AB 于 C,先解 Rt△APC,求出 PC 长,在解 Rt△PBC 即可求出 PB 长.

解:过点 P 作 PC⊥AB 于 C, 在 Rt△APC 中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°. ∴ PC= 200×sin60°=200 × ∵在 Rt△PBC 中,sin37°= ∴PB=
PC sin 37 ? ? 100 ? 1 . 732 0 . 60

3 2

=100 3 m.

PC PB



? 289(m)

答:小亮与妈妈相距约 289 米. (2012 山东泰安,13,3 分)如图,为测量某物体 AB 的高度,在 D 点测得 A 点的仰角为 30 ?, 朝物体 AB 方向前进 20 米到达点 C, 再次测得 A 点的仰角为 60?, 则物体的高度为 ( )

A.10 3 米

B.10 米

C.20 3 米

D.

20 3 3

【解析】设 AB 高为 x 米,在 Rt△ABD 中,∠D=30?,所以 BD= 3 AB= 3 x,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=60?,所以 BC=
3 3

AB=

3 3

x,因为 BD-BC=CD,所以 3 x-

3 3

x=20,解得 x=10 3 ,

即物体的高为 10 3 米. 【答案】A. 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,分别在两个直角三角形中,设出未知数,由 锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来, 然后构建方程, 解方 程即可求出未知线段的长. (2012 四川成都,17,8 分)如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处,仰望旗杆顶端 A,测得仰角为 60°,眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米.试帮助小华求 出旗杆 AB 的高度.(结果精确到 0.1 米, 3 ? 1 .7 3 2 )

解析: 由题意可知, 四边形 BCED 是矩形, 所以 BC=DE, 然后在 Rt△ACE 中, 根据 tan∠AEC= 可求出 AC 的长。 答案:由题意可知,四边形 BCED 是平行四边形,

AC EC

,

所以 CE=BD=6 米,CB=ED=1.5 米 在 Rt△ACE 中,tan∠AEC= 即 tan60°=
AC 6

AC EC

∴AC= 3 ×6 ? 1 .7 3 2 ? 6 ? 1 0 .4 (米) ∴AB=AC+CB=10.4+1.5=11.9(米) 点评:解直角三角形问题时,要选准三角函数并加以应用,是解题的关键。 (2012 贵州贵阳,19,10 分)小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落 差.如图,他利用测角仪站在 C 点处测得∠ACB=68°,再沿 BC 方向走 80m 到达 D 处,测得∠ ADC=34°,求落差 AB.(测角仪高度忽略不计,结果精确到 1m,可以使用计算器)

A

D

C

B

解析: 由已知可得△ACD 是等腰三角形, 19 题图 故得 AC=CD=80,在 Rt△ACB 中解直角三角形可 第 求 AB. 解:∵∠ACB=68°, ∠D=34°, ∴∠CAD=68°-34°=34°, ∴∠ CAD=∠D, ∴AC=CD=80. 在 Rt△ABC 中,AB=AC×sin68°=80×sin68°=74, ∴瀑布的落差约为 74m. 点评:解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一,解题时,首先是根据题意画 出图形(已经画图的则需要弄懂图形所表示的实际意义) ,解直角三角形时就结合图形分清 图形中哪个是直角三角形,已知锐角的对边、邻边和斜边.此外还应正确理解俯角、仰角等 名词术语. (2012 浙江丽水,19,6 分)学校校园内有一小山坡,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡 AB 长为 12 米.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡 BD 的坡比是 1:3(即为 CD 与 BC 的 长度之比) ,A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度 AD.

【解析】 :因为 AD=AC-CD,故欲求 AD,只需先求 AC、CD.为止可先解直角△ABC,求出 BC, 再根据坡比即可求出 CD. 【解】 :在 Rt△ABC 中,∠ABC=30°, ∴AC=
1 2

AB=6,BC=ABcos∠ABC=12×
1 3

3 2

=6 3 .

∵斜坡 BD 的坡比是 1:3,∴CD= ∴AD=AC-CD=6-2 3 .

BC=2 3 ,

答:开挖后小山坡下降的高度 AD 为(6-2 3 )米. 【点评】 :把应用问题转化为直角三角形问题,再运用直角三角形的关系进行求解.利用锐 角三角函数解决实际问题中的易错点有三处, 一是锐角三角函数关系式的选择, 二是特殊 角的三角函数值的识记, 三是计算是否正确. (2012 湖北随州,20,9 分)在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上(A 处) ,测得湖西 岸的山峰太婆尖 (C 处) 和湖东岸的山峰老君岭 (D 处)的仰角都是 45°,游船向东航行 100 米后(B 处) ,测得太婆尖、老君岭的高度为多少米?( 3 ? 1 .7 3 2 ,结果精确到米) 。

解析:设太婆尖高 h1 米,老君岭高 h2 米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线 段的长度,再利用移动距离为 AB=100 米,可建立关于 h1、h2 的方程组,解这个方程组求得 两山峰高度。 D(老君岭) 答案:设太婆尖高 h1 米,老君岭高 h2 米,依题意,有
h1 ? h1 ? ? 100 ? ? tan 30 ? tan 45 ? ? ? h2 ? h2 ? ? 100 ? ? tan 45 ? tan 60 ?
h1 ? 100 tan 60 ? tan 45
? ?

C(太婆尖)

45 E

o

45

o

30

o

60

o

A
第20题图

B

F

? 50 ( 3 ? 1) ? 50 (1 . 732 ? 1) ? 136 . 6 ? 137

(米)
h2 ? 100 tan 45 ? tan 30
? ?

?

100 1? 3 3
3 ) ? 50 ( 3 ? 1 . 732 ) ? 236 . 6 ? 237 (米)

? 50

3 ( 3 ? 1) ? 50 ( 3 ?

答:太婆尖高度为 137 米,老君岭高度为 237 米。 点评:本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造直角三角形,再借助角边关 系、三角函数的定义解题. (2012 浙江省绍兴,19,8 分)如图 1,某超市从一楼到二楼的电梯 AB 的长为 16.50 米, 按坡角∠BAC 为 32°. (1)求一楼与二楼之间的高度 BC(精确到 0.01 米) ; (2)电梯每级的水平级宽均是 0.25 米,如图 2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升 2 级 的高度运行,10 秒后他上升了多少米(精确到 0.01 米)? 备用数据:sin32°=0.5299,cos32°=0.8480,tan32°=0.6249.

【解析】 (1)在 Rt△ABC 中,已知 ∠BAC=32°,斜边 AB 的长为 16.50 米,根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度 BC. (2)先计 算 1 级电梯的高,再根据 10 秒钟电梯上升了 20 级可计算 10 秒后他上升的高度. 【答案】解: (1)∵sin∠BAC=
BC AB

,∴BC=AB×sin32°

=16.50×0.5299≈8.74 米. (2)∵tan32°= 级高级宽 , ∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225, ∵10 秒钟电梯上升了 20 级,∴小明上升的高度为:20×0.156225 米. 【点评】正确地构造出直角三角形,然后根据直角三角形的性质求解,是解决此题的关键. (2012 四川省资阳市,20,8 分)小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼.为了测量 点 P 到对面办公大楼上部 AD 的距离,小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45°,测得办公 大楼底部点 B 的俯角为 60°,已知办公大楼高 46 米,CD=10 米.求点 P 到 AD 的距离(用 含根号的式子表示) .
A

A

P C

M D

P

N C

M D

B

B

(第 20 题图) 【解析】 连结 PA、PB,过点 P 作 PM⊥AD 于点 M;延长 BC,交 PM 于点 N 则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10 米???????????1 分 设 PM= x 米 在 Rt△PMA 中,AM=PM×tan∠APM= x tan45°= x (米)??3 分 在 Rt△PNB 中,BN=PN×tan∠BPM=( x -10)tan60°=( x -10) 3 (米)???5 分[来@源:中国#教育︿%出版~网] 由 AM+BN=46 米,得 x +( x -10) 3 =46?????????6 分 解得, x ?
46 ? 10 3 1? 3 46 ? 10 3 1? 3

, 米. (结果分母有理化为 1 8 3 ? 8 米也可) ???

∴点 P 到 AD 的距离为 8分 【答案】
46 ? 10 3 1? 3

?

?

(结果分母有理化为 1 8 3 ? 8 米也可)

?

?

【点评】 本题综合考查了直角三角形中的三角函数、 特殊角的三角函数值及构造出的方程思

想.解决本题的关键是作垂线构造出直角三角形从而再运用三角函数解题.难度中等. (2012 江苏泰州市,24,本题满分 10 分)如图,一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线 上,小李在 P 处测得居民楼顶 A 的仰角为 60°,然后他从 P 处沿坡角为 45°的山坡上走到 C 处,这时,PC=30m,点 C 与点 A 在同一水平线上,A、B、P、C 在同一平面内. (1)求居民楼 AB 的高度; (2)求 C、A 之间的距离. (精确到 0.1m,参考数据: 2 ≈1.41, 3 ≈1.73, 6 ≈2.45)

A

C

60° 45°

B (第 24 题图) P
【解析】过 C 作 BP 的垂线,垂足为 G,利用特殊 Rt△PCG 和 Rt△ABP 中的边角关系,我们 容易计算出 CG(即 AB)的长,最后用 AC=BP+PG,就是 C、A 之间的距离. 【答案】 (1)过 C 作 BP 的垂线,垂足为 G,在 Rt△PCG 中,CG=PCsin45 =30× 所以 AB=15 2 =21.2(m) ( 2 ) PG= PCcos45 =30 ×
0 0

2 2

=15 2 ,

2 2

=15

2 , BP=

15 2 3

? 5 6 ,所以 C、A 之间的距离

=BP+PG=15 2 +5 6 =33.5(m) 【点评】 解直角三角形是每年中考的必考知识点之一, 主要考查直角三角形的边角关系及其 应用,难度一般不会很大,本题是基本概念的综合题,主要考查考生应用知识解决问题的能 力,很容易上手,容易出错的地方是近似值的取舍.


网站首页 | 网站地图 | 笔趣阁 | 甜梦文库
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。